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Schlaue Leute werden durch die Fehler von anderen klug
Schuljahr 2008/2009

Aufgabe 1

Bestimme das Minimum der Funktion f(x) = (x2 − 2x − 1)(x2 − 2x − 3).

1. Lösungsweg

Es sei g(x) = x2 − 2x − 1 und h(x) = x2 − 2x − 3. Damit ist f(x) = g(xh(x).

Da eine Quadratzahl stets positiv ist, gilt g(x) = (x − 1)2 − 2 ≥ 0 − 2 = −2.

Daraus folgt: gmin = −2.

Ähnlich erhalten wir h(x) = (x − 1)2− 4 ≥ 0 − 4 = −4.

Daraus folgt: hmin = −4.

fmin = gmin · hmin = 8.

Antwort: Das Minimum ist 8.

2. Lösungsweg

Es sei x2 − 2x = u. Damit ist f(u) = (u − 1)(u − 3) = u2 − 4u + 3 = (u − 2)2 − 1.

Da eine Quadratzahl stets positiv ist, gilt f(u) ≥ 0 − 1 = −1.

Daraus folgt: fmin = −1.

Antwort: Das Minimum ist −1.

Die zwei Lösungswege haben zu zwei unterschiedlichen Ergebnissen geführt.

Widerspruch! – Was ist richtig? Was ist falsch? Warum?

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