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Schlaue Leute werden durch die Fehler von anderen klug
Schuljahr 2008/2009

Aufgabe 4

In einer Ortschaft mit 5000 Einwohnern seien zwei Personen an Grippe erkrankt. Sie stecken weitere Personen an. Es wird angenommen, dass jede Woche von den möglichen Begegnungen zwischen Kranken und Gesunden 0,5% stattfinden und dabei jede fünfte zu einer Ansteckung führt. Wie viele Einwohner haben sich nach fünf Wochen voraussichtlich angesteckt?

Lösung

In der ersten Woche sind 2·(5000−2) Begegnungen zwischen Kranken und Gesunden möglich. Jede fünfte aus 0,5% bedeutet: (1/5)·(0,5/100) = 0,001. In der ersten Woche werden somit weitere 0,001·2·(5000−2) Einwohner krank. Nach einer Woche gibt es also insgesamt 2 + 0,001·2·(5000−2) ≈ 12 Kranke. B(t) bezeichne nun die Anzahl der Personen, die sich nach t Wochen mit dieser Grippe angesteckt haben. Damit lautet die allgemeine Formel:

B(t + 1) = B(t) + 0,001 · B(t) · (5000 − B(t)) und B(0) = 2 (1)

Die Verbreitung der Krankheit kann also mit Hilfe des logistischen Wachstums beschrieben werden. Mit (1) können wir nun B(1), B(2), B(3), B(4) und B(5) berechnen.

B(1) = B(0) + 0,001 · B(0) · (5000 − B(0)) ≈ 12
B(2) = B(1) + 0,001 · B(1) · (5000 − B(1)) ≈ 72
B(3) = B(2) + 0,001 · B(2) · (5000 − B(2)) ≈ 426
B(4) = B(3) + 0,001 · B(3) · (5000 − B(3)) ≈ 2374
B(5) = B(4) + 0,001 · B(4) · (5000 − B(4)) ≈ 8608

Antwort: Nach 5 Wochen haben sich voraussichtlich 8608 Einwohner angesteckt.

Bemerkung

Ein Vergleich zeigt: 8608 > 5000. Dies bedeutet: Nach 5 Wochen haben sich deutlich mehr Einwohner angesteckt, als es überhaupt gibt.

Widerspruch! – Was ist richtig? Was ist falsch? Warum?

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