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Zeitschrift für Mathematik

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Ausbauen von Problemen als Kernelement mathematischen Arbeitens
Ein Aufruf an die Leser!

Unbestritten besteht die Absicht der Zeitschrift Wurzel im Verbreiten und Fördern von Mathematik. Das ist auf unterschiedlichen Wegen möglich. So kann der Leser Beiträge aus verschiedenen mathematischen Sachgebieten durcharbeiten und dabei sein Wissen erweitern. Unter der Rubrik Wurzel – Aufgaben wird er zudem angeregt, ausgewählte Aufgaben und Probleme zu lösen.

„Mathematik betreiben” umfaßt aber noch mehr. So wurde und wird von vielen mathematisch tätigen Personen die Auffassung vertreten, daß nicht nur das Auffinden von Lösungen zu bestehenden Fragen, sondern auch und gerade das Suchen neuer Fragestellungen und deren Bearbeitung als Kernelement mathematischen Arbeitens zählt. Beispielsweise bedeuten für Albert Einstein gerade die Fähigkeiten

  • neue Fragen zu stellen,
  • neue Möglichkeiten zu eröffnen,
  • alte Probleme aus einem neuen Blickwinkel zu sehen,
wirklichen Fortschritt in der Wissenschaft (vgl. [1], S. 246).

Akzeptiert man die Sichtweise, ist es naheliegend und sinnvoll, diesem produktiven Aspekt von Mathematik auch in der Wurzel entsprechend Aufmerksamkeit zu schenken. Das im folgenden Beschriebene soll dahingehend einen Beitrag leisten.

Ich werde nun eine mathematische Problemstellung bzw. Thematik vorstellen und sie dann zum weiteren Erschließen, Entwickeln, Ausbauen etc. für die Leser „freigeben”.

Vor geraumer Zeit fand ich in [2], S. 13 folgende elementare Problemstellung:
Zwei zueinander kongruente Quadrate liegen so übereinander, daß eine Ecke des oben liegenden gleichzeitig Mittelpunkt des unten liegenden ist.
Was kann man über den gemeinsamen Flächeninhalt aussagen?

Bezeichnet man die Seitenlänge der Quadrate mit a, dann ist der gemeinsame Flächeninhalt A stets a²/4.
Für die in den Abb. 1 und 2 dargestellten zwei Spezialfälle läßt sich der Flächeninhalt auf verschiedenen Wegen sehr einfach bestimmen. Auch für den allgemeinen Fall gibt es mehrere Möglichkeiten, A = a²/4 zu beweisen.
In Abb. 3 sind die Hilfslinien x und y eingefügt. Sie sind jeweils Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks. Diese Dreiecke können durch Drehung ineinander überführt werden und sind damit kongruent. Daher kann das Flächenstück, welches abgeschnitten wurde, an anderer Stelle wieder angesetzt werden, so daß als gemeinsame Fläche nun wieder die des ersten Spezialfalls vorliegt.

Abbildung

Diese Problemstellung ist in verschiedene Richtungen ausbaufähig. Unter anderem gibt es folgende Variationsmöglichkeiten:

  • Variationen hinsichtlich der Art der Figuren (z. B. nicht mehr Quadrate oder nicht mehr zueinander kongruente Figuren …)
  • Variationen hinsichtlich der Dimension (z. B. Betrachtungen im Raum)
  • Variationen hinsichtlich des Drehpunktes (z. B. nicht mehr „Mittelpunkt” der unten liegenden Fläche)
  • Variationen hinsichtlich der Fragestellung (z. B. ist nicht mehr der gemeinsame Inhalt zu betrachten).

Das ist freilich nur ein kleiner Ausschnitt denkbarer Arbeitsrichtungen. Mir sind weiterführende Arbeiten von verschiedenen Personen zu dem oben genannten Ausgangsproblem bekannt. Darauf möchte ich aber nicht weiter eingehen, sondern vielmehr die Wurzel-Leser aufrufen, sich selbst Anschlußprobleme auszuwählen bzw. zu suchen und daran zu arbeiten. Die jeweiligen Arbeitsergebnisse können der Wurzel zugesandt werden. Es ist vorgesehen, verschiedene ausgewählte Einsendungen in einem Wurzel-Heft zu publizieren.

Mit dieser Aufgabenstellung soll ein breites Spektrum von Lesern angesprochen werden. Ich vertrete die Meinung, daß es geeignete Anschlußprobleme sowohl für Schüler als auch für Hochschullehrer der Mathematik gibt.

Es wäre schön, würden viele Leser dem Aufruf folgen, sich mit der Thematik auseinandersetzen und ihre Arbeitsergebnisse der Wurzel zusenden.

Viel Spaß, Freude und Erfolg!

Literaturverzeichnis

[1]
Schönpflug, W. / Schönpflug, U.: Psychologie.
Psychologie Verlagsunion. München 1989.
[2]
Zimmermann, B.: Problemlösen als eine Leitidee für den Mathematikunterricht.
Erschienen in: MU, Heft 3/1983. Klett Verlag. Stuttgart 1983.

In Zusammenarbeit mit amazon.de Dr. Frank Heinrich, Jena
erschienen in Die Wurzel 08/1999

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