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Bundeswettbewerb Mathematik

Aufgaben der ersten Runde

Hier sind die neuesten Aufgaben des Bundeswettbewerbs Mathematik. Die vollständigen Teilnahmebedingungen und -coupons finden Sie unter www.bundeswettbewerb-mathematik.de

Einsendeschluss für die 1. Runde ist der 1. März 2001 (Datum des Poststempels).

Aufgabe 1

Auf dem Tisch liegt ein Haufen mit 2001 Spielsteinen, der schrittweise in Haufen mit je drei Steinen umgewandelt werden soll. Dabei besteht ein Schritt darin, dass ein Haufen ausgewählt, daraus ein Stein entfernt und der Resthaufen in zwei Haufen zerlegt wird.

Kann dies mit einer Folge von vollständig ausgeführten Schritten erreicht werden?

Ergänzende Bemerkungen: Die Richtigkeit der Antwort muss bewiesen werden. Ein Haufen besteht immer aus mindestens einem Stein.

Aufgabe 2

Von einer Folge (a0, a1, a2, …) reeller Zahlen sei bekannt: a0 = 1 und   an+1 = an + √an+1 + an für alle natürlichen Zahlen n.

Man beweise, dass nur eine einzige Folge mit diesen Eigenschaften existiert, und gebe eine explizite Formel für an an.

Aufgabe 3

Gegeben sei ein spitzwinkliges Dreieck ABC mit Umkreismittelpunkt O. Die Gerade (BO) schneide den Umkreis nochmals in D, und die Verlängerung der von A ausgehenden Höhe schneide den Kreis in E. Man beweise, dass das Viereck BECD und das Dreieck ABC den gleichen Flächeninhalt haben.

Aufgabe 4

Man beweise: Bei jeder positiven ganzen Zahl ist die Anzahl der Teiler, deren Dezimaldarstellung auf 1 oder 9 endet, nicht kleiner als die Anzahl der Teiler, deren Dezimaldarstellung auf 3 oder 7 endet.

Bundeswettbewerb Mathematik
Wissenschaftszentrum
Postfach 201448
53144 Bonn

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