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Bundeswettbewerb Mathematik 2005
Aufgaben der ersten Runde

Die vollständigen Teilnahmebedingungen und -coupons für den Bundeswettbewerb Mathematik finden Sie auf dem Aufgabenblatt, das Ihre Schule erhalten hat oder das bei der unten angegebenen Adresse angefordert werden kann. Einsendeschluss für die 1. Runde ist der 1. März 2005 (Datum des Poststempels).
Aufgabe 1
Im Zentrum eines 2005×2005-Schachbretts liegt ein Spielwürfel, der in einer Folge von Zügen über das Brett bewegt werden soll. Ein Zug besteht dabei aus folgenden drei Schritten:
  • Man dreht den Würfel mit einer beliebigen Seite nach oben,
  • schiebt dann den Würfel um die angezeigte Augenzahl nach rechts oder um die angezeigte Augenzahl nach links und
  • schiebt anschließend den Würfel um die verdeckt liegende Augenzahl nach oben oder um die verdeckt liegende Augenzahl nach unten.
Das erreichte Feld ist das Ausgangsfeld für den nächsten Zug.

Welche Felder lassen sich durch eine endliche Folge derartiger Züge erreichen? Die Richtigkeit der Antwort ist zu beweisen.

Aufgabe 2
Die ganze Zahl a habe die Eigenschaft, dass 3a in der Form x2 + 2y2 mit ganzen Zahlen x, y darstellbar ist.

Man beweise, dass dann auch a in dieser Form darstellbar ist.

Aufgabe 3
Den Seiten a, b, c eines Dreiecks liegen die Winkel α, β, γ gegenüber. Es sei ferner 3α + 2&beta = 180°.

Man beweise, dass dann a2 + bc = c2 ist.

Aufgabe 4
Für welche positiven ganzen Zahlen n kann man die n Zahlen 1, 2, 3, …, n so in einer Reihe anordnen, dass für je zwei beliebige Zahlen der Reihe ihr arithmetisches Mittel nicht irgendwo zwischen ihnen steht?

Die Richtigkeit der Antwort ist zu beweisen.

Bundeswettbewerb Mathematik
Wissenschaftszentrum
Postfach 201448
53144 Bonn

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