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Mathematik in den Nachrichten – Perelman und die Poincaré-Vermutung

Im Sommer 2006 ist wieder einmal die Mathematik in den Schlagzeilen aufgetaucht – sogar die Bildzeitung hat ihr einen Artikel gewidmet: Die Poincaré-Vermutung war bewiesen. Das begleitende Drama besaß die meisten Zutaten für einen Bestseller.

Fangen wir aber am besten mit dem Anfang an.

Henri Poincaré

Henri Poincaré hatte seit seinem Schulanfang 1862 in Nancy zielstrebig seine mathematische Karriere verfolgt und war bis zu seinem Tod 1912 als forschender Mathematiker in Frankreich tätig. Nachdem er sich mit der Analysis und der Geometrie beschäftigt hatte, publizierte er 1895 den Aufsatz Analysis Situs: eine der ersten Arbeiten zur algebraischen Topologie.

Seine Arbeiten zur Topologie, welche in den letzten Jahren vor dem Jahrhundertwechsel entstanden, enthalten unter anderem auch die so genannte Poincaré-Vermutung.

Topologie und Geometrie

Eines der wichtigsten Werkzeuge, die von Poincaré eingeführt wurden, ist die Fundamentalgruppe eines topologischen Objektes. Um einen Eindruck von dieser Fundamentalgruppe zu bekommen, betrachten wir zuerst Flächen als spezielle Objekte. In diese Flächen können wir Schleifen einbetten. Schleifen sind stetige Kurven, deren Anfangs- und Endpunkt gleich sind und die in einer bestimmten Richtung durchlaufen werden. Da wir nicht an der genauen Form der Fläche interessiert sind, ist der genaue Verlauf der Schleife auch nicht von großer Bedeutung. Wir erlauben uns deshalb die Schleife mittels kleiner stetiger Verschiebungen zu verändern. Dabei muss die Schleife aber zu jeder Zeit innerhalb der Fläche bleiben und Anfangs- und Endpunkt dürfen nicht verändert werden. Wenn eine Schleife auf diese Art und Weise in eine andere umgewandelt werden kann, so nennen wir die beiden Schleifen homotop zueinander. Zwei Schleifen, die homotop zueinander sind, haben die gleiche Homotopieklasse.

Die Menge der Homotopieklassen bildet mit der beschriebenen Verknüpfung eine Gruppe. Das neutrale Element ist dabei die Homotopieklasse der konstanten Schleife, die im Anfangspunkt bleibt. Das inverse Element zu einer Homotopieklasse einer Schleife ist die Klasse der in umgekehrter Richtung durchlaufenen Schleife.
Wir können nun auf der Menge der Homotopieklassen aller Schleifen, die in einem bestimmten Punkt anfangen, eine Verknüpfung von zwei Schleifen definieren: wir durchlaufen zuerst die eine und danach die andere Schleife. Wir können zeigen, dass diese Verknüpfung bestimmte Eigenschaften besitzt (siehe Kasten). Diese Menge und ihre Verknüpfung bezeichnet man als Fundamentalgruppe. Sie trägt Informationen über die Fläche. Zum Beispiel ist die Fundamentalgruppe einer Sphäre trivial, da alle Schleifen, die auf einer Sphäre liegen, sich zu der konstanten Kurve zusammenziehen lassen – es gibt kein Hindernis und kein Loch, an dem eine Schleife hängen bleiben könnte.


Nichttriviale Fundamentalgruppe des Torus
Auf dem Torus – der Oberfläche eines Rettungsringes oder eines Donuts – dagegen können wir eine Schleife wie im Bild legen. Wie wir feststellen, lässt sich diese Kurve, egal wie wir sie verschieben, nicht zusammenziehen. Es zeigt sich, dass es zwei nicht zusammenziehbare „Grundschleifen” auf dem Torus gibt. Durch Verknüpfungen dieser beiden Schleifen können wir jede mögliche Homotopieklasse von Schleifen auf dem Torus erzeugen.

Bei den zweidimensionalen Flächen ohne Rand ist es tatsächlich so, dass die Kenntnis der Fundamentalgruppe genügt, um die Fläche zu bestimmen. So genügt es zu wissen, dass eine Fläche kompakt ist und eine triviale Fundamentalgruppe besitzt, um sie als Sphäre zu identifizieren. Dabei ist eine Fläche kompakt, wenn jede Folge von Punkten der Fläche eine konvergente Teilfolge besitzt.

Die Vermutung

Für die Verallgemeinerung des Flächenkonzeptes in drei Dimensionen wird es jedoch sofort viel schwieriger. Diese Verallgemeinerung ist die 3-Mannigfaltigkeit. Das sind Objekte, die sich in einer Umgebung um jeden Punkt herum wie der Raum R^3 verhalten. (Die Erdoberfläche ist z.B. eine 2-Mannigfaltigkeit – um jeden Punkt gibt es eine Umgebung, die wie die Ebene aussieht.) Wir können an jedem Punkt ein dreidimensionales Koordinatensystem für die nähere Umgebung aufspannen und damit alle lokalen Fragen in Fragen über den Raum R^3 übersetzen. Globale Fragen – z.B. nach der grundlegenden Form der Mannig­fal­tig­keit – können wir so nicht beantworten. Wir kennen einige 3-Mannig­fal­tig­kei­ten von Interesse:

  • die 3-Sphäre, definiert als die Menge aller Punkte (x,y,z,w) ∈ R^4 mit x² + y² + z²: + w² = 1;
  • der projektive 3-Raum, der aus der 3-Sphäre entsteht, indem jeweils der Punkt (x,y,z,w) mit dem Punkt (−x,−y,−z,−w) identifiziert wird; und
  • der 3-Torus, der entsteht, indem man den normalen Torus im vierdimensionalen Raum R^4 rotiert.
Poincaré vermutete, dass sich auch bei den 3-Mannig­fal­tig­kei­ten alles so schön verhält wie bei den Flächen: Wenn die Fundamentalgruppe trivial und die 3-Mannig­fal­tig­keit genügend „schön” ist, dann handelt es sich um die 3-Sphäre. Diese Vermutung wurde als Poincaré-Vermutung bekannt.

Lösungsversuche

Die Poincaré-Vermutung weckte im Laufe der Jahre langsam das Interesse der Mathematiker und viele versuchten sie zu beweisen. J. H. C. Whitehead hat in den 1930er Jahren behauptet, er hätte eine Lösung gefunden, seinen Beweis aber später zurückgezogen. In den 1950 bis 1960er Jahren wurde eine ganze Reihe von Beweisen aufgestellt und wieder zurückgezogen. Auch wenn die Beweise öfters gescheitert sind, haben die für die Beweise entwickelten Methoden durchaus große Fortschritte in der Topologie bewirkt.

Im Jahre 2000 stellte das Clay Institute sieben Probleme als so genannte Milleniumsprobleme vor und sprach für die Lösung jedes dieser Probleme einen Geldpreis von $ 1.000.000 aus. Eines dieser Probleme war die Poincaré-Vermutung.

William Thurston und die Geometrisierung

William Thurston, der 1982 die Fields-Medaille erhielt, hat sich mit der Geometrie und der Topologie der 3-Mannig­fal­tig­kei­ten beschäftigt. Auf vielen Mannig­fal­tig­kei­ten kann man eine Metrik definieren, das ist ein Abstandsmaß auf der Oberfläche. Mit Hilfe einer Metrik werden auch mehrere andere Invarianten definiert, so z.B. die Krümmung. Hat die Metrik eine konstante positive Krümmung, dann wird sie sphärisch genannt; hat sie eine konstante negative Krümmung, dann wird sie hy­per­bo­lisch genannt. Mannig­fal­tig­kei­ten, die solche Metriken besitzen, nennen wir sphärisch bzw. hy­per­bo­lisch. Eine dritte Gruppe von Mannig­fal­tig­kei­ten sind die, in welche man einen Torus einbetten kann, diese heißen torisch. Es lässt sich zeigen, dass hy­per­bo­li­sche und torische Mannig­fal­tig­kei­ten unendliche Fundamentalgruppen und sphärische Mannig­fal­tig­kei­ten endliche Fundamentalgruppen haben. Außerdem können sowohl in sphärische als auch in hy­per­bo­li­sche Mannig­fal­tig­kei­ten keine Tori eingebettet werden.

Thurston stellte sich die Frage, ob diese drei Klassen von Mannig­fal­tig­kei­ten die einzigen sind. Das heißt, ob eine 3-Mannig­fal­tig­keit immer entweder sphärisch, hy­per­bo­lisch oder torisch ist. Die größte Frage dabei wäre dann, ob jede nicht-torische Mannig­fal­tig­keit mit unendlicher Fundamentalgruppe eine hy­per­bo­li­sche Metrik zulässt.

Dies wurde für eine Klasse von 3-Mannig­fal­tig­kei­ten, die so genannten Ha­ken­mannig­falt­ig­keit­en, von Thurston gezeigt. Er vermutete außerdem, dass es auch im allgemeinen Fall nur diese drei Typen gibt. Diese Vermutung ist als Geo­me­tri­sie­rungs­ver­mu­tung bekannt.

Von der Geo­me­tri­sie­rung zu Poincaré

Eine Folge der Geo­me­tri­sie­rungsvermutung wäre, dass eine 3-Mannig­fal­tig­keit mit endlicher Fundamentalgruppe eine sphärische Metrik zulassen würde. Eine weitere Folge wäre, dass alle Mannig­fal­tig­kei­ten, die hy­per­bo­lisch sein könnten – also eine unendliche Fundamentalgruppe besitzen und nicht torisch sind – auch hy­per­bo­lisch sind. Daher wird es leicht zu erkennen, welche Form eine bestimmte Mannig­fal­tig­keit haben kann: sie könnte einen Torus enthalten oder hy­per­bo­lisch sein, beides führt zu einer unendlichen Fundamentalgruppe; oder sie könnte sphärisch sein und damit eine endliche Fundamentalgruppe besitzen.

Hierdurch stellt sich heraus, dass – falls die Geo­me­tri­sie­rungsvermutung gilt – Mannig­fal­tig­kei­ten mit einer endlichen Fundamentalgruppe sphärisch sind. Unter den sphärischen Mannig­fal­tig­kei­ten wiederum gibt es nur eine mit trivialer Fundamentalgruppe: die 3-Sphäre.

Richard Hamilton und seine Ricci-Flüsse

Richard Hamilton hat in seinem Studium von sphärischen 3-Mannig­fal­tig­kei­ten die Idee der Ricci-Flüsse entwickelt. Er wählte eine beliebige Metrik mit positiver Krümmung auf der Mannig­fal­tig­keit aus. Diese Metrik lässt er dann eine Entwicklung durchlaufen, die durch eine Differentialgleichung – ähnlich der der Hitzeverbreitung in festen, homogenen Körpern – beschrieben wird. Diese Entwicklung, genannt der Ricci-Fluss, wird dann alle Unregelmäßigkeiten in der Krümmung verschmieren, bis man zum Schluss eine Metrik mit konstanter positiver Krümmung erhält.

Aufgrund seiner Arbeit glaubte Hamilton, dass es möglich sein müsste, die Geo­me­tri­sie­rungsvermutung mit Hilfe dieser Methode zu beweisen.

Die Vermutung wird bewiesen

Grigori Perelman

Grigori (Grisha) Perelman, ein russischer Mathematiker, der am Steklov-Institut der Mathematik in Sankt Petersburg tätig war, hat 2002 und 2003 eine Folge von drei Artikeln im Internet auf dem mathematischen Artikelserver zur Verfügung gestellt. Diese beschäftigen sich mit dem Thema der Ricci-Flüsse und zeigen in sehr kurz gefasster Form einige Eigenschaften dieser Flüsse auf 3-Mannig­falt­ig­keiten. Vor allem geben die Arbeiten von Perelman Methoden an, wie man problematische Regionen aus der 3-Mannig­fal­tig­keit ausschneiden kann, ohne den Typ derselben zu verändern. Mit diesen Methoden kann man den Ricci-Fluss ohne Probleme und innerhalb endlicher Zeit beenden. Dadurch würde jede geeignete Mannig­fal­tig­keit eine sphärische Geometrie erhalten können und die Vermutung von Thurston wäre bewiesen.

Diese Artikel waren aber recht kurz gefasst und skizzenhaft, so dass 2006 verschiedene Gruppen von Mathematikern – zwei amerikanische und eine chinesische, eigene Artikel publiziert haben, welche die Arbeit von Perelman erläutern. So konnten zumindest die Spezialisten in Perelmans Gebiet den gesamten Beweis nachvollziehen.

Shing-Tung Yau

Die chinesische Gruppe um Professor Shing-Tung Yau – bekannt unter anderem für die in der Physik wichtigen Calabi-Yau-Mannig­falt­ig­keiten – hat dabei ihre Artikel so formuliert, als ob sie den endgültigen Beweis mit Hilfe von Perelmans Arbeit gefunden hätte. Die Wissenschaftler haben anerkannt, dass ein Großteil der Arbeit von Perelman durchgeführt wurde, vertraten aber die Ansicht, dass noch so viel zu einem vollständigen Beweis zu tun war, dass sie die eigene Arbeit als die „Krone der Hamilton-Perelmanschen Theorie der Ricci-Flüsse” bezeichnen dürfen.

Perelman lehnt die Fields-Medaille ab

Seit Perelmans Stelle am Steklov-Institut 2003 nicht verlängert wurde, hat Perelman sich aus der Welt der Mathematik zurückgezogen. Er hat in Interviews mit Sylvia Nasar vom New Yorker gesagt, dass er von den ethischen Standards der Mathematikerwelt enttäuscht ist und deshalb nichts mehr mit derselben zu tun haben will. Die Konflikte mit Yau über die Frage, wer eigentlich den letztendlichen Beweis geleistet habe, sowie Zweifel seiner Kollegen vom Steklov-Institut an seinen Leistungen haben dazu beigetragen, dass er sich jetzt abgrenzt.

Zum Internationalen Kongress der Mathematik 2006, wurde Perelman zusammen mit Terence Tao, Wendelin Werner und Andrei Okounkov die Fields-Medaille verliehen. Perelman hat die Medaille und den Geldpreis abgelehnt, obwohl ihn der Präsident der Internationalen Ma­the­ma­ti­ker-Ver­ei­ni­gung, Sir John Ball, zwei Tage lang zu überreden versuchte. Perelman meint, dass der Preis nicht wichtig sei. Falls der Beweis stimmt, sei außerdem keine weitere Anerkennung nötig.

Die anfangs erwähnten Geldpreise vom Clay-Institut werden vergeben, wenn der Beweis zwei Jahre nach Veröffentlichung in einer mathematischen Zeitschrift immer noch als gültig angesehen wird. Die Artikel von Perelman jedoch wurden nicht in einer Zeitschrift veröffentlicht, sondern nur auf dem oben genannten Artikelserver. Falls das Clay-Institut seine Regeln bezüglich der Veröffentlichung lockert und niemand einen Fehler in Perelmans Beweis findet, könnten Perelman und Hamilton den Preis von $ 1.000.000 angeboten bekommen. Perelman möchte sich jetzt noch nicht entscheiden, ob er diesen Preis annehmen würde.

Mikael Johansson


Literatur
  1. Sylvia Nasar, David Gruber:
    Manifold Destiny: A legendary problem and the battle over who solved it.
    The New Yorker, 21.8.2006
  2. Grisha Perelman:
    The entropy formula for the Ricci flow and its geometric applications.
    arXiv:math.DG/0211159
  3. Grisha Perelman:
    Ricci flow with surgery on three-manifolds.
    arXiv:math.DG/0303109
  4. Grisha Perelman:
    Finite extinction time for the solutions to the Ricci flow on certain three-manifolds.
    arXiv:math.DG/0307245
  5. Huai-Dong Cao, Zhu Xi-Ping:
    A complete proof of the Poincaré and Geometrization conjectures – application of the Hamilton-Perelman theory of the Ricci flow.
    Asian Journal of Mathem. 10, 2006, S. 165-498
  6. Bruce Kleiner, John Lott:
    Notes on Perelman's papers.
    arXiv:math.DG/0605667
  7. John W. Morgan, Gang Tian:
    Ricci Flow and the Poincaré Conjecture.
    arXiv:math.DG/0607607

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